Формирование возвратно-замкнутых последовательностей в расширенных числовых полях на основе квадратов Эйлера «ход коня».
Авторы: Лукоянов Виталий Павлович — д.т.н., Гранд-доктор, профессор, академик;
Шанти Пушпакумара Джаясекара — Президент МВУС, ректор МУФО, Гранд-доктор, профессор, академик;
Лукоянов Виктор Витальевич – д.т.н., д.п.н, Гранд-доктор, профессор, академик
В множественном числе оригинальных занимательных задач, представляющих не только приятное развлечение, но и полезное практическое применение, одно из первых мест занимает задача шахматного коня («ход коня»). Решением этой задачи занимались многие выдающиеся учёные: Моавр, Монмор, Ферма, Лейбниц, Френикль, Декарт, Вандермонд, Бенджамин Франклин и, наконец, Эйлер, имя которого и присвоено этой замечательной задаче. Эйлер опубликовал своё решение задачи шахматного коня в мемуарах Берлинской академии наук, назвав его решением остроумной задачи, по-видимому не подчиняющейся никакому анализу (Эйлер Л. Задача Эйлера и волшебные квадраты, СПб, 1884.). Задача Эйлера состоит в том, чтобы обойти конём все клетки шахматной доски или числового поля большего размера, ставя коня на клетку не более одного раза. Несмотря на кажущуюся лёгкость решения этой задачи, первые математики смогли найти только некоторые простые решения, не проще и не красивее тех, которые были известны индусам. Обоснованное решение задача шахматного коня получила, только попав в руки Леонардо Эйлера, именем которого она и была названа.
Развивая методику Эйлера, авторами была предпринята попытка нахождения возвратно-замкнутых цепей в числовом поле коня больших размеров (сам Леонардо Эйлер составил максимальную возвратно-замкнутую цепь в числовом поле 10 X 10). Представим созданную авторами возвратно-замкнутую цифровую последовательность, образуемую ходом коня в расширенном поле доски размером 16 X 16:
Далее рассмотрим возвратно-замкнутую цифровую последовательность, образуемую «ходом коня» в расширенном поле доски размером 20 X 20:
Из результатов исследований, проведённых авторами, следует, что сформированные ими числовые последовательности «хода коня», в значительно больших размерах обладают теми же свойствами, что и последовательности Эйлера меньших размеров. Более того, принятый авторами за основу алгоритма формирования возвратно-замкнутых цепей по симметричным элементам относительно центра квадрата, позволяет формировать возвратно-замкнутые цепи больших размеров различной кратности, что и наглядно подтсврежадеатся полученными в дальнейших разработках для числовых полей 32 X 32 и даже 40 X 40.
Последовательное удвоение ране образованных цепей позволяет получать возвратно-замкнутые последовательности любых размеров, кратных принятым за основу формирования. Из приводимых таблиц видно, что каждый числовой элемент последовательности жёстко связан зависимостью от элементов симметрично расположенных относительно центрального элемента. Причем разности между соседними элементами в строке или столбце равны разностям, соответствующих элементов, симметрично расположенных относительно центра цифрового поля. В заключении отметим, что приводимые результаты данных авторских исследований будут очень эффективными при формировании латинских квадратов, кодирующих и декодирующих устройств для кодов, исправляющих многократные ошибки в дискретных каналах связи, а также послужат основой для продолжения дальнейших исследований с целью нахождения новых алгоритмов формирования возвратно-замкнутых последовательностей высших порядков.