ПОЛНОТА И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМЫ БАЗОВЫХ ПРИНЦИПОВ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА (НА МАТЕРИАЛЕ КУРСА ХИМИИ 7–9 КЛАССОВ)
COMPLETENESS AND MINIMALITY OF THE SYSTEM OF BASIC PRINCIPLES OF A SCHOOL SUBJECT (EVIDENCE FROM THE GRADE 7–9 CHEMISTRY COURSE)
Ульданова О. П.
PhD в области психологии и педагогики, Международный Университет Фундаментального Обучения (МУФО)
Аннотация. Статья посвящена доказательству двух формальных свойств системы базовых принципов учебного предмета — полноты и минимальности — на материале курса химии основной школы. Актуальность обусловлена тем, что идея структурирования содержания вокруг немногих фундаментальных оснований в дидактике распространена широко, однако процедура эмпирической проверки того, что предложенная система оснований действительно покрывает содержание предмета и не содержит избыточных элементов, как правило, не предъявляется, а сама система принимается декларативно. Цель работы — представить и апробировать воспроизводимую процедуру такого доказательства. Материалом служит система из восьми базовых принципов, отобранных по пяти критериям (фундаментальность, независимость, продуктивность, доступность формулировки, операциональность) из содержания курса химии 7–9 классов. Методом доказательства полноты является построение матрицы соответствия «принцип × элемент содержания» размерностью 205 × 8, где элементами выступают единицы программного содержания, извлечённые из федерального государственного образовательного стандарта, примерной рабочей программы и действующих учебников. Методом доказательства минимальности является процедура последовательного удаления каждого принципа с фиксацией числа элементов, утрачивающих покрытие. Показано, что из 205 элементов реестра 187 (91,2 %) выводимы из системы принципов, при этом 173 элемента (92,5 % выводимых) достигаются за один шаг вывода и 14 (7,5 %) — за два, а элементов с глубиной вывода три и более система не содержит; удаление любого из восьми принципов оставляет непокрытыми от 9 до 48 элементов содержания (4,8–25,7 % выводимого материала), что исключает избыточность. Размерность порождающего ядра обоснована как решение задачи двустороннего ограничения: снизу — требованием полноты при посильной для подростка глубине вывода, сверху — требованием обозримости ядра как целого. Определены границы применимости результата — содержательные, возрастные и организационно-педагогические. Предложенная процедура носит общедидактический характер и может быть применена к построению порождающего ядра содержания других учебных предметов.
Ключевые слова: базовый принцип учебного предмета; порождающее ядро содержания; полнота системы; минимальность системы; матрица «принцип × содержание»; процедура удаления; глубина вывода; содержание образования; методика обучения химии.
Abstract. The article substantiates two formal properties of a system of basic principles of a school subject — completeness and minimality — using the grade 7–9 chemistry course as empirical material. The idea of structuring subject-matter content around a small number of fundamental principles is common in didactics, yet a reproducible procedure for verifying that a proposed system of principles actually covers the subject content and contains no redundant elements is rarely presented; the system is typically accepted declaratively. The aim of the study is to present and test such a verification procedure. The material is a system of eight basic principles selected according to five criteria (fundamentality, independence, productivity, accessibility of formulation, operationality) from the content of the grade 7–9 chemistry course. Completeness is demonstrated by constructing a 205 × 8 correspondence matrix «principle × content element», where elements are units of programme content drawn from the federal educational standard, the model curriculum, and current textbooks. Minimality is demonstrated by a sequential principle-removal procedure recording the number of elements that lose coverage upon each removal. Of 205 registry elements, 187 (91.2%) are derivable from the system of principles; 173 elements (92.5% of derivable ones) require a single inferential step and 14 (7.5%) require two, with no elements requiring three or more steps. Removing any of the eight principles leaves 9 to 48 elements uncovered (4.8–25.7% of derivable content), which rules out redundancy. The dimensionality of the generative core is justified as a solution to a two-sided constraint problem: bounded below by the requirement of completeness under a manageable inferential depth, and bounded above by the requirement that the core remain surveyable as a whole. The content-related, age-related, and organisational-pedagogical limits of the result are specified. The proposed procedure is generic to didactics and can be applied to constructing the generative core of other school subjects.
Keywords: basic principle of a school subject; generative core of content; completeness of a system; minimality of a system; principle-by-content matrix; removal procedure; inferential depth; content of education; chemistry teaching methodology.
Введение
Идея о том, что содержание учебного предмета целесообразно структурировать вокруг ограниченного числа фундаментальных оснований, а не разворачивать как перечень тем, восходит к системному подходу [1; 2] и к отечественной теории содержательного обобщения [3]. Согласно этой линии рассуждения, замещение множества частных, формально не связанных друг с другом положений немногими порождающими принципами разгружает рабочую память обучающегося [4] и переводит освоение частного материала из режима запоминания в режим выведения. Идея интуитивно убедительна и многократно воспроизведена в дидактических работах разного профиля [5–7], однако её операционализация наталкивается на два вопроса, которые в большинстве публикаций остаются без ответа.
Сама идея порождающего ядра согласуется с более общим взглядом на урок как на процесс управления: в такой оптике урок рассматривается как замкнутый контур, в котором учитель выступает субъектом управления, а коллектив учащихся — объектом, причём учитель переводит класс из исходного состояния в состояние, заданное вектором целей, и корректирует воздействие по обратной связи [13]. Порождающее ядро в этой оптике задаёт содержательную составляющую вектора целей урока: оно определяет, к какой структуре понимания должен быть приведён обучающийся в результате урока, но не задаёт самого управленческого контура, через который эта структура должна быть реализована на уроке: вопрос о том, как именно учитель ведёт класс к заданной структуре понимания через обратную связь и корректирующие воздействия, остаётся за рамками настоящего исследования и рассматривается в разделе 7.
Первый вопрос — вопрос полноты: покрывает ли предложенная система принципов содержание предмета целиком, или она объясняет лишь удобную для демонстрации часть материала, оставляя прочее содержание вне системы? Второй вопрос — вопрос минимальности: не содержит ли система избыточных элементов, то есть принципов, без которых охват содержания не сокращается? Оба вопроса допускают не декларативный, а конструктивный ответ — построение проверяемой процедуры, результат применения которой можно оспорить или подтвердить независимо от автора системы. Именно отсутствие такой процедуры в большинстве работ, посвящённых «фундаментализации» школьного содержания, образует методический разрыв, который настоящая статья призвана заполнить на конкретном предметном материале.
Цель статьи — представить процедуру доказательства полноты и минимальности системы базовых принципов учебного предмета и применить её к системе из восьми принципов, построенной для курса химии 7–9 классов. Статья решает три задачи: (1) сформулировать критерии отбора базового принципа, отличающие его от смежных дидактических конструктов; (2) построить и содержательно интерпретировать матрицу соответствия «принцип × элемент содержания» как инструмент доказательства полноты; (3) применить процедуру последовательного удаления принципов как инструмент доказательства минимальности и на этой основе обосновать размерность порождающего ядра.
1. Критерии отбора базового принципа учебного предмета
Базовым принципом учебного предмета в настоящей работе называется положение предметной области, удовлетворяющее одновременно пяти критериям. Первые три критерия — логические, относящиеся к системе принципов как целому; два последних — дидактические, относящиеся к каждому принципу в отдельности.
Критерий фундаментальности требует, чтобы принцип выражал закономерность, лежащую в основании описания предметной области, а не следствие такой закономерности. Формально: положение P фундаментально, если оно не выводимо из остальных положений системы, но само выступает посылкой в выводе элементов содержания. Критерий разграничивает принцип и правило: утверждение «свойства вещества определяются типом химической связи и характером взаимодействия частиц» есть принцип, поскольку задаёт способ объяснения целого класса явлений, тогда как утверждение «вещества с ионной кристаллической решёткой тугоплавки» есть частное следствие и в порождающее ядро не входит, хотя в учебной практике оба нередко предъявляются как равноположенные утверждения, подлежащие запоминанию.
Критерий независимости требует, чтобы ни один принцип не был выводим из совокупности остальных: для системы принципов Π = {P₁, …, Pₙ} для любого i должно выполняться Π \ {Pᵢ} ⊬ Pᵢ. Критерий защищает систему от избыточности; его применение допускает оговорку — в дидактической системе возможна аспектная дифференциация, когда несколько принципов описывают один объект с разных сторон, не будучи логически выводимыми друг из друга (пример такой дифференциации рассматривается в разделе 3).
Критерий продуктивности требует, чтобы принцип участвовал в выводе значимой доли содержания: если C — множество выводимых элементов, а C(Pᵢ) — подмножество элементов, в выводе которых участвует принцип Pᵢ, то |C(Pᵢ)| / |C| ≥ δ. В настоящей работе принято δ = 0,05: принцип, участвующий в выводе менее пяти процентов содержания, признаётся частным и подлежит исключению либо поглощению более общим принципом.
Критерий доступности формулировки требует, чтобы принцип был формулируем в терминах, доступных обучающемуся соответствующего возраста, без обращения к математическому аппарату, выходящему за пределы школьной программы данного года обучения. Критерий операционален: формулировка признаётся доступной, если обучающийся способен передать её смысл своими словами и привести пример применения.
Критерий операциональности требует, чтобы принцип допускал применение как инструмент решения задач, а не только как объяснительная формула: операциональность проверяется возможностью построить задание, в котором обучающийся выводит новое для себя утверждение. Принцип, допускающий лишь иллюстрацию, но не вывод, порождающей функции не выполняет и в ядро не включается.
Первые три критерия обеспечивают логическую состоятельность системы, два последних — её дидактическую реализуемость. Между двумя группами критериев существует содержательное напряжение: повышение фундаментальности формулировки, как правило, снижает её доступность подростку. Отбор принципов есть поиск компромисса между логической состоятельностью и дидактической реализуемостью, а не оптимизация по одному параметру; это обстоятельство подробно раскрывается при обосновании размерности ядра в разделе 4.
Отдельного пояснения требует различение предъявления принципа и его выведения, поскольку без него критерий фундаментальности может быть истолкован ошибочно. Предъявление есть введение принципа в оборот как готового инструмента: обучающемуся сообщается формулировка и показывается способ её применения. Выведение есть получение принципа из более глубоких оснований как логического следствия. Принцип относится к порождающему ядру не потому, что он предъявляется (предъявляются все принципы предметной области, включая встроенные), а потому, что он служит основанием выведения других элементов содержания и сам при этом не выводится из остальных принципов ядра. Так, в курсе химии правило Клечковского, правило Хунда и принцип Паули предъявляются обучающемуся и применяются им регулярно, однако не удовлетворяют критерию доступности: их собственное обоснование требует аппарата квантовой механики, недоступного на уровне основной школы. Эти правила отнесены к встроенным: они инкапсулированы в применяемый объект (например, в порядок заполнения энергетических подуровней), а результат их действия предъявляется обучающемуся в готовом виде, без вывода.
2. Система базовых принципов курса химии 7–9 классов
Применение сформулированных критериев к содержанию курса химии основной школы даёт систему из восьми принципов (таблица 1).
Таблица 1. Система базовых принципов порождающего ядра курса химии 7–9 классов
Обозначение Формулировка Краткое наименование
П1 Устойчивость системы определяется минимумом её энергии; самопроизвольные процессы протекают в направлении понижения энергии системы Минимум энергии
П2 Вещество дискретно и состоит из атомов, сохраняющихся при химических превращениях; свойства атома определяются числом электронов и их распределением по энергетическим уровням, причём наиболее устойчивы заполненные и наполовину заполненные конфигурации Дискретность и электронная конфигурация
П3 Химическая связь образуется за счёт обобществления или перехода электронов и стабилизируется достижением атомами устойчивой электронной конфигурации Природа связи
П4 Свойства вещества определяются типом химической связи и характером взаимодействия между частицами Связь → свойство
П5 Направление химической реакции определяется изменением энергии системы и её упорядоченности Термодинамика реакции
П6 Скорость химической реакции определяется частотой эффективных столкновений частиц и энергией активации Кинетика реакции
П7 В обратимых реакциях устанавливается динамическое равновесие; система реагирует на внешнее воздействие в направлении, ослабляющем это воздействие Химическое равновесие
П8 Периодическое изменение свойств элементов и их соединений обусловлено периодическим изменением строения электронных оболочек атомов Периодичность
Восемь принципов организованы не как неупорядоченный перечень, а по структурной схеме «1 + 3 + 3 + 1». Принцип П1 занимает положение сверхпринципа: применяется на всех уровнях описания — от устойчивости электронной конфигурации до направления химического превращения, обеспечивая связность системы. Принципы П2, П3, П4 образуют блок «строение → свойство», реализующий переход от микроуровня (атом, электронная оболочка) через уровень связи к макроуровню наблюдаемых свойств вещества. Принципы П5, П6, П7 образуют блок «превращение», описывающий реакцию в трёх аспектах: возможность протекания (термодинамика), скорость (кинетика) и предел (равновесие). Принцип П8 выполняет интегрирующую функцию, связывая блок строения с систематикой элементов. Согласно теории когнитивной нагрузки [4], объединение элементов в смысловые группы снижает нагрузку на рабочую память при удержании системы как целого: восемь принципов предъявляются обучающемуся не как восемь независимых положений, а как четыре смысловые единицы.
Структура блока «превращение» заслуживает отдельного пояснения, поскольку иллюстрирует применение критерия независимости с оговоркой об аспектной дифференциации. Возможное возражение состоит в том, что П5, П6 и П7 описывают одну предметную область и, следовательно, избыточны — например, смещение равновесия по П7 может показаться выводимым из П5, а П5 — из П1. Возражение снимается указанием на аспектную природу различения: П5, П6 и П7 отвечают на разные вопросы, не сводимые друг к другу — возможна ли реакция, как быстро она протекает и до какого предела доходит. Термодинамически разрешённая реакция может не идти по кинетическим причинам; кинетически быстрая реакция может остановиться на равновесии. Ни один из трёх ответов не выводится из двух других. Процедура удаления, изложенная в разделе 4, подтверждает это количественно: исключение П6 лишает покрытия 12 элементов содержания, исключение П7 — 9 элементов, причём эти множества не пересекаются с покрытием, обеспечиваемым П5.
3. Матрица «принцип × содержание» как доказательство полноты
Проверка полноты требует внешнего, не зависящего от системы принципов реестра содержания, с которым результаты применения принципов можно сопоставить. Такой реестр составлен на основании федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, примерной рабочей программы по химии и действующих линий учебников химии для основной школы (О. С. Габриеляна; Г. Е. Рудзитиса и Ф. Г. Фельдмана; Н. Е. Кузнецовой; В. В. Ерёмина). Реестр включает 205 элементов программного содержания, распределённых по десяти содержательным блокам.
На основе реестра построена матрица соответствия «принцип × элемент содержания» размерностью 205 × 8: на пересечении элемента и принципа фиксируется факт участия принципа в выводе элемента и длина вывода. Шагом вывода считается однократное применение принципа к элементу содержания либо к ранее выведенному следствию. Восемь элементов реестра по своему содержанию совпадают с формулировками самих базовых принципов (закон сохранения массы, периодический закон и другие); в матрице они отмечены как элементы нулевой глубины вывода, входящие в состав порождающего ядра, а не в состав выводимого материала, что исключает их двойной учёт при оценке покрытия.
Таблица 2. Покрытие содержания курса системой базовых принципов
Блок содержания Всего Выводимых Конвенц. Глубина 1 Глубина 2
1. Первоначальные понятия 25 17 8 17 0
2. Строение атома 18 18 0 18 0
3. Периодический закон 22 22 0 20 2
4. Химическая связь 26 26 0 24 2
5. Строение вещества 20 20 0 18 2
6. Классы соединений 24 17 7 11 6
7. Растворы и диссоциация 16 13 3 13 0
8. Химические реакции 30 30 0 30 0
9. Металлы 14 14 0 12 2
10. Неметаллы 10 10 0 10 0
Итого 205 187 18 173 14
Примечание: в столбце «Глубина 1» учтены восемь элементов нулевой глубины вывода, входящих в состав порождающего ядра.
Из 205 элементов 187 (91,2 %) выводятся из системы восьми принципов. Непокрытыми остаются 18 элементов (8,8 %), относящихся к конвенциональному материалу: символика индексов и коэффициентов в химических формулах, определение относительной атомной массы, единицы количества вещества и молярного объёма, определение массовой доли, номенклатурные определения классов соединений, определения растворимости и водородного показателя. Наличие непокрытых элементов не является дефектом системы: конвенциональный материал по своей природе не подлежит выводу, поскольку обозначение «моль», термин «оксид» и порядок записи индексов суть результаты соглашения научного сообщества, а не следствия физических закономерностей. Попытка «вывести» соглашение привела бы к методологической подмене логического обоснования этимологическим или историческим комментарием. Соответственно, концепция порождающего ядра имеет область применимости, границы которой очерчены различением закономерного и конвенционального; явное указание этой границы повышает, а не снижает научную состоятельность подхода.
Существен также показатель посильности вывода: из 187 выводимых элементов 173 (92,5 %) выводятся за один шаг, 14 (7,5 %) — за два, а элементов, требующих трёх и более шагов, система не содержит. Этот результат важен для обоснования размерности ядра (раздел 5): он показывает, что ядро не является чрезмерно малым, поскольку при избыточном сокращении числа принципов длина вывода частных положений возрастала бы, а фактическая максимальная глубина вывода равна двум шагам, что оставляет запас посильности.
4. Доказательство минимальности: процедура последовательного удаления
Полнота не доказывает минимальности: полной может быть и избыточная система, содержащая принципы, дублирующие функцию друг друга. Минимальность доказывается конструктивно — последовательным удалением каждого принципа с фиксацией числа элементов содержания, утрачивающих покрытие. Формально система принципов Π минимальна, если для любого принципа Pᵢ ∈ Π существует непустое множество элементов Cᵢ, выводимых системой Π, но не выводимых системой Π без Pᵢ.
Таблица 3. Результаты процедуры удаления
Удаляемый принцип Основные группы утрачиваемых элементов Непокрытых Доля от выводимых
П5 направление реакций, ряд активности металлов, условия протекания реакций обмена, свойства классов соединений 48 25,7 %
П8 периодический закон в полном объёме, закономерности изменения свойств, активность металлов и галогенов 45 24,1 %
П1 направление самопроизвольных процессов, тепловой эффект, устойчивость конфигураций, зависимость свойств от энергии связи 40 21,4 %
П2 строение атома в полном объёме, дискретность вещества, закон сохранения массы, валентность, степени окисления 40 21,4 %
П3 типы химической связи, типы кристаллических решёток, аллотропия, электролитическая диссоциация 28 15,0 %
П4 физические свойства веществ, свойства металлов, растворимость, электропроводность 22 11,8 %
П6 факторы скорости реакции, катализ, кинетический аспект коррозии 12 6,4 %
П7 химическое равновесие, обратимость, поведение слабых электролитов 9 4,8 %
Удаление любого из восьми принципов оставляет непокрытыми от 9 до 48 элементов содержания (4,8–25,7 % выводимого материала). Ни один принцип не избыточен: для каждого найдено непустое множество элементов, теряющих выводимость при его исключении, что и требуется определением минимальной системы. В частности, принципы П6 и П7, обладающие наименьшей продуктивностью в системе (12 и 9 выводимых элементов соответственно, то есть 6,4 % и 4,8 % от общего числа выводимых элементов), покрывают разделы, обязательные по образовательному стандарту и не выводимые из остальных принципов, — их низкая продуктивность не является основанием для исключения, поскольку удаление именно этих принципов нарушает полноту системы, а не только сокращает её избыточность.
Показателен разбор случая, в котором предпочтение отдаётся сохранению принципа несмотря на его низкую продуктивность. Принцип химического равновесия (П7) занимает наименьшую позицию по продуктивности во всей системе, что формально делает его кандидатом на исключение. Однако его удаление, во-первых, оставляет непокрытыми 9 элементов, обязательных по стандарту, а во-вторых, увеличивает глубину вывода смежных положений: вывод положения о смещении равновесия при изменении условий через принципы термодинамики и минимума энергии (П5 и П1) потребовал бы не менее четырёх шагов, что превышает установленный порог посильности (три шага). Тем самым решение о сохранении принципа опирается не на один показатель, а на согласование двух критериев — полноты покрытия и посильности вывода, — рассматриваемых совместно в следующем разделе.
5. Обоснование размерности порождающего ядра
Число принципов, образующих порождающее ядро, ограничено с двух сторон, и это обстоятельство составляет содержательное ядро настоящего раздела. Нижняя граница определяется требованием полноты при посильной глубине вывода: при сокращении системы возникает один из двух эффектов. Если исключаемый принцип не поглощается остальными, соответствующие элементы становятся невыводимыми и переходят в разряд подлежащих запоминанию — процедура удаления (раздел 4) показывает, что для всех восьми принципов реализуется именно этот эффект. Если же исключаемый принцип формально поглощается более общим, покрытие сохраняется, но длина вывода возрастает, как показано на примере принципа П7 выше; при достижении глубиной вывода порога посильности (в настоящей работе — трёх шагов) дальнейшее сокращение ядра становится контрпродуктивным. Нижняя граница, таким образом, определяется требованием: система покрывает содержание при глубине вывода не более трёх шагов, и системы меньшей размерности этому требованию не удовлетворяют.
Верхняя граница определяется противоположным эффектом. При расширении системы добавление девятого и последующих принципов даёт убывающий прирост: элементы, выводимые новым принципом за один шаг, в системе восьми принципов уже выводимы за два шага. Прирост доли элементов с глубиной вывода 1 составляет единицы процентов, тогда как объём ядра, подлежащего удержанию обучающимся как целым, растёт линейно. Верхняя граница задаётся требованием операциональности ядра как целого: система должна удерживаться в оперативной памяти обучающегося целиком, а не воспроизводиться по списку. Ядро из двенадцати и более положений утрачивает это свойство и функционально не отличается от перечня правил — то есть от того способа организации содержания, преодоление которого составляет практический смысл всей концепции порождающего ядра.
Размерность ядра есть, следовательно, решение задачи двустороннего ограничения n_min ≤ n ≤ n_max, где n_min определяется требованием полноты при ограниченной глубине вывода, а n_max — требованием обозримости. Представленная матрица покрытия и процедура удаления показывают, что n = 8 удовлетворяет обоим ограничениям: покрытие составляет 91,2 % при максимальной глубине вывода в два шага (запас посильности в один шаг относительно установленного порога), а структура «1 + 3 + 3 + 1» обеспечивает обозримость ядра как совокупности четырёх смысловых единиц, а не восьми независимых элементов.
6. Количественная оценка эффекта минимизации
Построенная матрица позволяет численно оценить эффект, образующий содержательное основание для последующей эмпирической проверки ускорения обучения (что составляет предмет отдельного эмпирического исследования и не входит в задачи настоящей статьи). При традиционном построении курса репродуктивному усвоению подлежат все 205 элементов реестра: правила, закономерности и классификации предъявляются как самостоятельные положения, каждое из которых требует запоминания. При принциповом построении репродуктивно удерживаются лишь восемь базовых принципов и восемнадцать конвенциональных единиц — итого 26 элементов; остальные 179 элементов осваиваются не запоминанием, а выведением из принципов при глубине вывода не более двух шагов. Реестр разлагается без остатка: 205 = 8 (принципы порождающего ядра) + 179 (выводимые элементы) + 18 (конвенциональные единицы).
Сокращение репродуктивно удерживаемого содержания составляет 205 / 26 ≈ 7,9, то есть приблизительно восьмикратную минимизацию объёма материала, подлежащего запоминанию. Существенно, что минимизация не сопровождается сокращением содержания: все 205 элементов реестра остаются в составе осваиваемого курса, изменяется лишь способ их освоения — 179 элементов переходят из категории запоминаемого в категорию выводимого. Именно это соотношение, а не сокращение программы, образует содержательную основу для гипотезы об ускорении обучения при принциповом построении курса.
7. Границы применимости результата
Полученная система принципов и продемонстрированная процедура доказательства её полноты и минимальности имеют три группы очерченных границ.
Содержательные границы. Система построена для курса химии основной школы и покрывает 91,2 % его содержания; оставшиеся 8,8 % — конвенциональный материал, лежащий вне области применимости концепции по определению, а не по недостатку системы. Перенос системы на курс старшей школы, включающий органическую химию, требует отдельного исследования: не установлено, достаточно ли восьми принципов для покрытия содержания, организованного по существенно иному основанию.
Возрастные границы. Доступность формулировок принципов проверена применительно к обучающимся 8–9 классов. Для пропедевтического курса 7 класса система применима в редуцированной форме: принципы термодинамики, кинетики и равновесия реакции (П5, П6, П7) в этом возрасте вводятся на качественном, а не операциональном уровне.
Организационно-педагогические границы. Система реализует порождающую функцию только при владении учителем процедурами вывода частного из общего. При предъявлении принципов как ещё восьми положений, подлежащих запоминанию наряду с прочим материалом, эффект минимизации не достигается, а система вырождается в дополнительный, обособленный элемент содержания, не выполняющий заявленной функции.
Указанная зависимость от умения учителя вывести раскрывается полнее при обращении к управленческой стороне урока, обозначенной во введении. Актуализация порождающего ядра на конкретном уроке требует от учителя не только знания самих принципов, но и умения вести класс к заданной ими структуре понимания через управленческий контур: отслеживать отклонения класса от планируемого вывода по обратной связи и возвращать его к заданному вектору целей корректирующими воздействиями, если вывод не состоялся с первой попытки — то есть удерживать применение принципов в режиме управления по обратимости последствий, а не предъявлять готовый результат вывода в обход запоминания [13]. Изложенная зависимость не расширяет состав предмета исследования настоящей статьи, который ограничен вопросами полноты и минимальности самой системы принципов; она обозначает смежное направление, в котором вопрос о содержании порождающего ядра, рассмотренный в разделах 1–6, соединяется с вопросом об управлении его реализацией на конкретном уроке.
Изложенная процедура допускает прямую эмпирическую проверку самой размерности ядра, выходящую за рамки формального доказательства полноты и минимальности. Один из возможных планов такой проверки предполагает сопоставление результативности обучения при разном числе предъявляемых принципов — редуцированном (четыре принципа), предлагаемом (восемь принципов) и расширенном (шестнадцать принципов) — с ожиданием немонотонной зависимости результативности от числа принципов и максимумом при восьми. Такая проверка составляет самостоятельное направление дальнейшей работы и требует отдельного эмпирического исследования на материале нескольких предметных курсов.
Выводы
1. Отбор базовых принципов учебного предмета может быть формализован через пять критериев — фундаментальность, независимость, продуктивность, доступность формулировки и операциональность, — из которых первые три обеспечивают логическую состоятельность системы, а два последних — её дидактическую реализуемость.
2. Полнота системы принципов доказывается конструктивно, посредством построения матрицы соответствия «принцип × элемент содержания» на основе внешнего, не зависящего от системы реестра содержания предмета; на материале курса химии 7–9 классов эта процедура показала покрытие 91,2 % программного содержания при максимальной глубине вывода два шага.
3. Минимальность системы принципов доказывается конструктивно, посредством процедуры последовательного удаления каждого принципа с фиксацией утрачиваемого покрытия; на исследуемом материале удаление любого из восьми принципов оставляет непокрытыми от 9 до 48 элементов содержания, что исключает избыточность системы.
4. Размерность порождающего ядра обосновывается как решение задачи двустороннего ограничения — снизу требованием полноты при посильной для обучающегося глубине вывода, сверху требованием обозримости ядра как целого; для курса химии 7–9 классов решением этой задачи является система из восьми принципов.
5. Представленная процедура доказательства полноты и минимальности не специфична для химии как предметной области и может быть применена к построению и верификации порождающего ядра содержания других учебных предметов, для которых характерна множественность частных положений, объединяемых относительно небольшим числом объяснительных оснований.
Список литературы
1. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем — критический обзор // Исследования по общей теории систем: сборник переводов / под ред. В. Н. Садовского, Э. Г. Юдина. — М.: Прогресс, 1969. — С. 23–82.
2. Садовский В. Н. Основания общей теории систем: логико-методологический анализ. — М.: Наука, 1974. — 279 с.
3. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении: логико-психологические проблемы построения учебных предметов. — М.: Педагогическое общество России, 2000. — 480 с.
4. Sweller J. Cognitive load during problem solving: Effects on learning // Cognitive Science. — 1988. — Vol. 12, № 2. — P. 257–285.
5. Выготский Л. С. Мышление и речь. — М.: Лабиринт, 1999. — 352 с.
6. Гальперин П. Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследования мышления в советской психологии. — М.: Наука, 1966. — С. 236–277.
7. Занков Л. В. Обучение и развитие: экспериментально-педагогическое исследование. — М.: Педагогика, 1975. — 440 с.
8. Эрдниев П. М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. — М.: Просвещение, 1986. — 255 с.
9. Bandura A. Self-efficacy: Toward a unifying theory of behavioral change // Psychological Review. — 1977. — Vol. 84, № 2. — P. 191–215.
10. Hiebert J., Lefevre P. Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis // Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics / ed. by J. Hiebert. — Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1986. — P. 1–27.
11. Кузнецова Н. Е., Титова И. М., Гара Н. Н. Методика обучения химии: теоретические и прикладные аспекты. — М.: Владос, 2019. — 464 с.
12. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования: утв. приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 31 мая 2021 г. № 287. — М., 2021.
13. Ульданов А. Применение принципов достаточно общей теории управления (ДОТУ) к анализу и организации школьного урока [Электронный ресурс]. — Дух времени, 2026. — URL: http://spiritoftime.su/?p=3488.
